竞赛中的归纳与构造
高三奥数·代数·难度 5/5·约 30 分钟
数学归纳法的各种变体。 第一数学归纳法：验证 ，再由 推 。 第二数学归纳法（强归纳）：由「对一切 成立」推 成立。适用于递推依赖多个前项的情形。 跳跃归纳：先证 ，再由 推 。 反向归纳（柯西归纳）：先证对 成立，再由 成立推 成立。均值不等式的经典证明正是用这个办法。 要点：归纳的关键常常是加强命题 —— 原命题归纳不动时，证一个更强的命题反而更容易，因为归纳假设也随之变强。
学完你应该能
- 掌握数学归纳法的四种变体
- 理解何时需要加强归纳命题
- 能识别递推结构选择合适的归纳形式
常见易错点
归纳假设用错（该用强归纳时用了第一归纳） 归纳步骤中实际上用到了尚未证明的情形
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