多面体与欧拉公式
高二奥数·立体几何·难度 5/5·约 28 分钟
空间图形的整体性质。 欧拉公式：对任意凸多面体， （顶点数 棱数 面数） 正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。这个结论可以由欧拉公式直接推出 —— 设每面是正 边形、每顶点连 条棱，代入后解不等式，只有五组整数解。 常用关系：每条棱被两个面共用，所以 ；每条棱连接两个顶点，所以 。
学完你应该能
- 掌握欧拉公式并会用它计算
- 理解正多面体只有五种的原因
- 会用棱的双重计数建立关系式
常见易错点
把欧拉公式用于非凸（带洞）多面体 双重计数时忘记除以2
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