西姆松线与费马点
高二奥数·平面几何·难度 5/5·约 30 分钟
两个著名的几何构形。 西姆松线：点 在 外接圆上，则 到三边的垂足共线。反之，若三垂足共线，则 在外接圆上。这是四点共圆的一个漂亮应用。 费马点：使到三顶点距离之和最小的点。当三角形各内角都小于 时，费马点在内部，且对三边的张角都是 ；若有一角不小于 ，费马点就是该顶点。 费马点的经典证法：把 绕 旋转 ，三条线段被「拉直」成一条折线，最短时即为直线 —— 这是旋转变换威力的最佳示范。
学完你应该能
- 理解西姆松线的充要条件
- 掌握费马点的位置与张角性质
- 会用旋转60度的方法证明费马点最小性
常见易错点
西姆松线的逆命题条件叙述不完整 忽略有角大于120度时费马点的退化情形
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